1999-2000学年第二学期概率论课程期末试题参考答案
1．若U=aX+b, V=cY+d, 其中a,b,c,d为常数，a>0,
c>0. 试证U,V的相关系数等于X,Y的相关系数。
2.试求几何分布的熵
解：
3.Cauchy分布的密度函数为F(x) = 1/π(1+x2)，试求它的特征函数为φ(t). 并由此证明，若X1, X2,……是独立同分布随机变量序列，均服从Cauchy分布，则(X1 + X2 +……+Xn)/n也服从Cauchy分布.
证明: 
= 
令
，则
， 
4． 用Chebyshev 不等式确定当掷一均匀铜币时，需投多少次才能保证使得正面出现的频率在0.4至0.6之间的概率不少于90%，并用正态逼近计算同一问题。
解：令, 
, 
5． 设Fn(x) 为一列正态分布函数，收敛于分布函数F(x)，试证F(x)也是正态分布函数。
证明: 
., 则由复数收敛的性质：
分别收敛到
，为F(t)特征函数=èF服从正态分布
6．设X1, X2,……是独立同分布随机变量序列，均服从[0，1]均匀分布，令Zn=
(Πi=1Xi)1/n, 试证Zn依概率收敛于某常数C，并求C.
解：
, so C=
7.
某赌徒每次押一元赌注，输赢的概率同为1/2。若输了50元或赢了25元他就停止赌博。问他在停止赌博时，得失钱数平均是多少？输了50元的概率是多大？
解: 
，则
8.
某短跑运动员的步长平均为0.97米，标准差σ=0.1米。问他跑100步的距离与100米相差不过5米的概率是多少？
：
9．叙述随机变量的各种收敛性的定义，指出它们的相互蕴涵关系，并证明其中的一条结论。
证明:
10．
叙述零常返、正常返、非常返的定义。一维整数格点上的简单随机游动是零常返、正常返、还是非常返的？证明你的结论。
：
一维随机游动是零常返，
证明:
